【典例11】已知函数，其中，，为常数. 对任意正整数n，当时，求证：

       证明: 显然，当时，对任意正整数n，都有.所以，只要证明.

       构造函数，，则

            （）.

所以，函数在上是递减函数，即有，也就是

            .

       综上便得

       评注: 发现当时，对任意正整数n，都有，就可以绕开字母n的干扰，转化为新的简单的不等式，这样，构造函数就水到渠成了.

       【典例12】（2010年陕西考题）已知函数，

       （1）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；

       （2）设函数，当h(x)存在最小值时，求其最小值的解析式；

（3）对（2）中的和任意的，证明：

         .

       讲解：（1） ，(x>0).

       由已知得  ，且，联立解得，.

于是，两条曲线交点的坐标为，切线的斜率为，所以，所求切线的方程为

（2）由条件知 （），所以有

       .

   (i) 当a.>0时，令，解得，所以，当时，，函数在上递减；当时，，函数在上递增.

所以，是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点.

       所以，最小值的解析式是

  （ii）当时，，函数在递增，无最小值.

  故函数的最小值的解析式为 ().

 （3）由（2）知，对任意的，有

       故有 .

        评注：本题的背景深刻，蕴含了非常经典的均值不等式.  三个导函数值之间大小的比较，发现差异，消除差异，将两边向中间靠拢，其工具是简单的2均值不等式！

       数学解题就是化归，就是转化，就是将复杂我们转化为简单问题，就是寻找条件与解题目标之间的差异，消除差异，其根本和要害是实现问题当中文字语言、符号语言和图形语言之间的“语义”转换、沟通与互译.